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  à Saguenay

Calcul avancé I

Comprendre les notions et les outils du calcul différentiel à plusieurs variables, en particulier la dérivée vectorielle, le gradient et la dérivée directionnelle, avec une insistance sur les interprétations géométriques et physiques.

Introduction aux équations différentielles: exemples, ordre d'une équation, équations linéaires. Équations différentielles linéaires d'ordre 1: facteur intégrant, problème de valeur initiale, comportement à l'infini, représentation graphique, champ de directions. Les vecteurs de Rn et les vecteurs géométriques: repère cartésien, vecteur position d'un point, norme et distance, coordonnées polaires. Produits scalaire, vectoriel et mixte: propriétés, interprétations géométrique et physique (travail, moment vectoriel, flux). Projections scalaire et vectoriel d'un vecteur. Différentes équations d'une droite et d'un plan: paramétrique, normal-point et algébrique. Introduction aux nombres complexes. Fonctions vectorielles d'une variable: courbes paramétrées, hélices circulaire et elliptique, cubique gauche, intersection d'un plan et d'un cylindre conique, trajectoire d'une particule, dérivée et règles de dérivation, vecteur tangent, intégrale définie, intégration et condition initiale, longueur d'arc, vecteurs vitesse et accélération, vitesse et accélération. Fonctions scalaires: relation entre variables, fonction de plusieurs variables et graphe, surface de révolution, les quadriques, courbes et surfaces de niveau, limite et continuité, dérivées partielles et dérivée le long d'une droite parallèle à un axe, dérivée directionnelle et dérivée le long d'une droite orientée, vecteur gradient et interprétation géométrique, variation optimale d'une fonction, dérivation des fonctions composées et dérivée le long d'une courbe orientée, plan tangent à une surface définie par une relation, plan tangent à une graphe et approximation linéaire, dérivées partielles d'ordre supérieur, introduction à l'optimisation (extremums locaux, points critiques, test de dérivées secondes, ensemble fermé et borné, frontière, extremums globaux, multiplicateurs de Lagrange). Utilisation de la différentielle totale pour le calcul d'erreurs. Formules et séries de Taylor à une et deux variables : approximations d'une fonction. Applications en ingénierie: principe de superposition des forces et des vecteurs vitesses, les 3 lois de Newton, intégration de la deuxième loi de Newton et conditions initiales, vecteurs accélérations normale et tangentielle, topographie, équations de Laplace, de la chaleur et des ondes. Utilisations d'un logiciel de calcul.

Formule pédagogique : Cours Magistral

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